关于laplace算符的理解,以及应用

老规矩直接说结论,这是我的理解,如果不对请指正:laplace算符算出的是梯度的散度,代表该点变化改变的强度,类似一元函数的二阶导数。

首先说下梯度,以爬山为例来说,将山上的某一点周围很小的区域看成是一个平面,在这个平面上沿着x方向走一小段高度的变化跟这个小段长度有个比例a,这个比例不跟走过的长度有关,只跟倾斜程度有关,同样在与x不相关的(方向与其垂直的)y方向也走一小段,得到一个高度变化和走过长度的比b,这2个比都只是与倾斜程度有关,由于我们把这个面看成平面,可能是倾斜的,也可能是平的,是平的话,那这2个比例都是0,不是平的话那就是非0,那我问你,你说从这点出发往哪个方向倾斜的程度最高,那自然是用平行四边形法则来看,就是这2个向量的合成方向最倾斜了。那就是向量(a,b)的方向,而a,b分别是这点的偏导数,我们就将这个方向称为梯度方向,梯度是个向量,有大小也有方向,就用向量(a,b)表示。

再说散度,说到散度就要说通量,通量是指一个表面穿过的辐射的多少,表面有方向,辐射也有方向。如果是一个闭合的曲面,穿过这个曲面外表面的辐射量跟曲面面积的点积的积分就称为这个表面的通量,如果这个曲面无限小,通量除以面积,就可以反映这个点的辐射的强度,这个就是散度。用高斯公式就可以求出某点的散度。

如果把某个空间的梯度看成一个场,那梯度的散度就是laplace算符表达的意思。你梯度大不一定散度大,除非你比周围的梯度变化的大,laplace算符算出的才大。

所以laplace算符应用到热动方程就反应了热在某点时间上的变化跟周围的温差成正比。$\frac{\partial u}{\partial t}=k\triangle u$

应用到波动方程就是,某点的波动在时间上跟周围的压力差成正比。$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}=k\triangle u$

还有数字图像处理里的laplace算子为什么是用来做边缘检测的,这下就明白了吧,它就是二维的laplace算子。

$$\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & -4 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}$$

 

文章标题:关于laplace算符的理解,以及应用
文章链接:https://www.dianjilingqu.com/51473.html
本文章来源于网络,版权归原作者所有,如果本站文章侵犯了您的权益,请联系我们删除,联系邮箱:saisai#email.cn,感谢支持理解。
THE END
< <上一篇
下一篇>>